1963年，洛倫茲用蝴蝶效應(yīng)形象地展現(xiàn)出了混沌的魅力：亞馬遜熱帶雨林中的一只蝴蝶偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國(guó)得克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。正所謂“失之毫厘，謬以千里”，混沌理論告訴我們，即使人類掌握了確定性規(guī)則，依舊無法擁有預(yù)測(cè)未來的能力。本文從混沌的天氣預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)開始，介紹了混沌理論和實(shí)例：從分岔到分形，從樹木、血管這些自然界的實(shí)例，到量子混沌再到人類的意識(shí)。

撰文 | Irfan Bashir, Hamid Rashid Shah

翻譯 | 牛曉杰

(資料圖片)

審校 | 梁金

1. 一個(gè)混沌理論的實(shí)驗(yàn)

在60年前一個(gè)寒冷的冬天，愛德華·洛倫茲正在他的電腦上進(jìn)行一個(gè)天氣模式模擬的實(shí)驗(yàn)。在輸入了一些數(shù)字之后，他出去喝了杯咖啡。等到他10分鐘后再次回來的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)一些古怪的結(jié)果。由此他發(fā)現(xiàn)了后來著名的混沌理論——一個(gè)將永遠(yuǎn)改變科學(xué)的發(fā)現(xiàn)！

他的電腦模型是12個(gè)變量的組合，每一個(gè)變量代表天氣的一個(gè)方面，諸如溫度和風(fēng)速。洛倫茲當(dāng)時(shí)正在重復(fù)他之前的模擬。然而，當(dāng)洛倫茲把他程序里的變量從0.506127四舍五入成0.506時(shí)，未來兩個(gè)月的整個(gè)天氣預(yù)測(cè)模式都完全改變了。在正常參數(shù)下，給定相同的起點(diǎn)，天氣每次都會(huì)以相同的模式展開。而給定一個(gè)稍微不同的起點(diǎn)，天氣應(yīng)該以稍微不同的模式展開。四舍五入造成的誤差肯定是微不足道的，它不應(yīng)該造成什么大規(guī)模的影響。

在那個(gè)時(shí)期，科學(xué)的假設(shè)是，只要了解物理定律和系統(tǒng)的初始條件，就可以計(jì)算出一個(gè)封閉系統(tǒng)的大致行為。科學(xué)思維是，另一個(gè)星球上樹葉的掉落不會(huì)影響到地球上臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)。人們相信，小的變化不會(huì)造成大的影響。法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1814年出版的《概率哲學(xué)論文》（A Philosophical Essay on Probabilities）中說，如果我們知道宇宙目前的一切，那么“沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，會(huì)毫無保留的呈現(xiàn)在‘我們’眼前”。

但是，在洛倫茲的特殊微分方程系統(tǒng)中，隨著時(shí)間的推移，小的錯(cuò)誤會(huì)造成深不可測(cè)的變化。這些問題凝視著他，但他并沒有答案。是否簡(jiǎn)單的模型可以產(chǎn)生顯著的隨機(jī)性？是否在一個(gè)系統(tǒng)中的簡(jiǎn)單模型會(huì)在另一個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜性？是否隨機(jī)性并不是模糊測(cè)量的副產(chǎn)品，而是一種常態(tài)？是否混沌并不是人類觀察局限性的結(jié)果，而就是自然的底層法則？

圖.運(yùn)行了兩個(gè)月的兩個(gè)模擬天氣斑圖

這個(gè)出乎意料的結(jié)果使洛倫茲意識(shí)到，小的改變可以造成大的影響——這是對(duì)自然運(yùn)轉(zhuǎn)方式的強(qiáng)有力洞察。這個(gè)想法被稱為“蝴蝶效應(yīng)”。混沌效應(yīng)或者蝴蝶效應(yīng)就是用來表述“小的改變導(dǎo)致整個(gè)混沌系統(tǒng)重大變化”的觀點(diǎn)。蝴蝶效應(yīng)這個(gè)術(shù)語是洛倫茲提出的，他假設(shè)一只遠(yuǎn)處的蝴蝶拍打翅膀的行為可以引起一系列的復(fù)雜事件，最終導(dǎo)致其他地方的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。洛倫茲意識(shí)到，對(duì)初始條件的敏感性是導(dǎo)致非周期性行為的原因。這種效應(yīng)后來獲得了一個(gè)專有名詞：初始條件依賴敏感性。然而，看一下民間傳說就會(huì)發(fā)現(xiàn)，古代的詩人已經(jīng)知道并回答了什么是混沌理論：

“因?yàn)樯倭艘活w馬蹄釘，而丟了一個(gè)馬蹄鐵。

因?yàn)閬G了一個(gè)馬蹄鐵，而少了一匹戰(zhàn)馬。

因?yàn)樯倭艘黄?zhàn)馬，而缺了一個(gè)騎兵。

因?yàn)槿绷艘粋€(gè)騎兵，而輸了一場(chǎng)戰(zhàn)役。

因?yàn)檩斄艘粓?chǎng)戰(zhàn)役，而滅亡了整個(gè)國(guó)家?！?/p>

2. 解釋混沌理論：混沌科學(xué)

正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）在他的書《混沌》（Chaos）中所說，“在混沌開始的地方，經(jīng)典科學(xué)就止步了。只要世界上有物理學(xué)家在試圖探究自然規(guī)律，TA就會(huì)在面對(duì)大氣中的無序狀態(tài)、動(dòng)蕩的海洋、野生動(dòng)物種群的波動(dòng)、心臟和大腦的振蕩時(shí)感到特別的無知。自然界有其不規(guī)則、不連續(xù)和不穩(wěn)定的一面。”

混沌科學(xué)孕育了自己的語言，包括分形、湍流、周期性、分岔、奇異吸引子、蝴蝶效應(yīng)和敏感依賴等詞匯。這些詞代表了一個(gè)規(guī)則不同的世界——事物分支成奇怪的結(jié)構(gòu)，遵循一種可以知道但不可能精確量化和預(yù)測(cè)的斑圖和周期性。如果通過時(shí)空連續(xù)體的棱鏡來參考，那么這個(gè)混沌世界的一切就好像是折回自身，同時(shí)成為未來和過去——它從自身汲取其周期性。混沌不是對(duì)秩序的拒絕，而是秩序的自然表達(dá)。

混沌科學(xué)似乎可以回答一些人類苦苦追尋的最基本問題。生命是如何開始的？什么是湍流？最重要的是，在一個(gè)創(chuàng)造更多無序的熵支配的宇宙中，秩序如何產(chǎn)生？以及古老的科學(xué)問題：微觀世界如何將自己編織進(jìn)宏觀世界。孤立地研究一個(gè)原子或神經(jīng)元時(shí)，其行為方式是一樣的，但數(shù)十億個(gè)原子和神經(jīng)元的行為方式卻完全不同。這是一門解開周期性和不可預(yù)測(cè)性之間聯(lián)系的科學(xué)。

3. 什么是混沌理論？

混沌的核心是對(duì)非線性的研究，這意味著玩游戲的行為有可能改變規(guī)則本身。非線性使得對(duì)非線性事物的理解變得困難，因?yàn)椴煌兞恐g存在錯(cuò)綜復(fù)雜的變化性，從而創(chuàng)造了豐富而復(fù)雜的行為。例如，人們不能給摩擦力定義一個(gè)恒定的重要性，因?yàn)樗闹匾匀Q于速度，而速度又取決于摩擦力。因此，量化非線性就像解一個(gè)魔方，每次移動(dòng)它時(shí)顏色都會(huì)改變。

讓我們考慮一些最常見的日常例子：

3.1 預(yù)測(cè)天氣

過去兩個(gè)世紀(jì)技術(shù)發(fā)生了重大變革，短期內(nèi)的天氣預(yù)測(cè)水平已經(jīng)大大提升。但是長(zhǎng)期天氣預(yù)測(cè)仍然是棘手的問題。大部分現(xiàn)代天氣預(yù)測(cè)模型，甚至是人工智能驅(qū)動(dòng)的模型，都是通過分布在10-200公里范圍內(nèi)的地理監(jiān)測(cè)點(diǎn)的網(wǎng)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了確定天氣，氣象學(xué)家使用一系列微分方程來分析原始數(shù)據(jù)，其中包括露水強(qiáng)度、溫度、風(fēng)、壓力以及其他變量。但是地面站和衛(wèi)星不能觀察到所有的東西，因此對(duì)于一些起始數(shù)據(jù)，例如水分，必須通過猜測(cè)給定數(shù)值。大多數(shù)情況下，這種猜測(cè)是可靠的。

但是，假設(shè)我們能夠?qū)⒃O(shè)備升級(jí)到足夠精確的水平，并且用間隔僅幾英尺的傳感器覆蓋整個(gè)地球；假設(shè)每個(gè)傳感器都能給出氣象學(xué)家想要觀察的完全準(zhǔn)確的讀數(shù)；假設(shè)一臺(tái)由人工智能驅(qū)動(dòng)的量子計(jì)算機(jī)能夠接收所有這些讀數(shù)，并計(jì)算出以分鐘為間隔的天氣模式。那會(huì)發(fā)生什么？如果以上所有假設(shè)成立，我們是否能夠絕對(duì)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)天氣？

我們將觀察到的是，我們?nèi)匀粺o法預(yù)測(cè)特定地點(diǎn)或長(zhǎng)期的天氣模式。傳感器之間的空間將隱藏微觀波動(dòng)——它一直延伸到量子范圍，但是計(jì)算機(jī)并不知道。這些其實(shí)只是相比于平均水平的微小偏差。但在幾分鐘內(nèi)，這些波動(dòng)已經(jīng)在幾英尺外造成了微小的錯(cuò)誤。很快，乘數(shù)效應(yīng)（Multiplier Effect）將隨之而來，錯(cuò)誤將累計(jì)，甚至?xí)U(kuò)展到10英尺的距離范圍。因此，這使得人們不可能絕對(duì)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)天氣。

3.2 一杯熱咖啡與混沌

熱液體是受混沌法則支配的許多流體力學(xué)過程之一。以一杯簡(jiǎn)單的咖啡為例，我們?cè)鯓硬拍苡?jì)算出一杯咖啡究竟會(huì)以怎樣的速度冷卻下來？如果咖啡只是熱的，它的熱量會(huì)在沒有任何流體力學(xué)運(yùn)動(dòng)的情況下耗散，因此不會(huì)產(chǎn)生湍流。但是如果溫度上升到咖啡開始沸騰，會(huì)發(fā)生什么？

如果你仔細(xì)觀察過一杯熱咖啡，會(huì)立即注意到在飲料表面有一條暗線勾勒出的土灰色漩渦區(qū)域。這些旋轉(zhuǎn)的斑圖被稱為對(duì)流單元。它標(biāo)志著熱咖啡上升到表面，而稍微冷卻的咖啡被引力拉向底部的區(qū)域。對(duì)流是一種常見的過程，當(dāng)較熱的空氣或液體位于較冷的下層時(shí)就會(huì)發(fā)生。這就是咖啡杯中發(fā)生的情況：上面的咖啡因蒸發(fā)而冷卻，隨著冷卻也變得更重，被重力拉下底部。同時(shí)，底部的咖啡中較熱的部分上升到頂部以取代它。

視頻：咖啡杯中的混沌【前往“返樸”觀看視頻】

當(dāng)較熱的咖啡上升到頂部時(shí)，它的一小部分水蒸發(fā)了，然后在與表面上較冷的空氣接觸時(shí)凝結(jié)。這些水滴的大小和重量恰好能讓它們留在表面。因此，在咖啡上面看起來像涂層的東西是小的云朵。水會(huì)反射光線，所以它們看起來是白色的。暗線部分是較冷的咖啡向底部沉降的地方。

漩渦可能很復(fù)雜。但最終我們能夠知道這個(gè)系統(tǒng)會(huì)變成什么。隨著熱量的進(jìn)一步消散，同時(shí)摩擦使移動(dòng)的液體變慢，杯中咖啡的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)肯定會(huì)停止。洛倫茲在評(píng)論這一現(xiàn)象時(shí)曾說："我們可能難以提前一分鐘預(yù)測(cè)咖啡的溫度，但提前一小時(shí)預(yù)測(cè)它應(yīng)該沒有什么困難?！?/p>

根據(jù)教科書上的對(duì)流模型，熱的底部和冷的頂部之間的溫度差控制著系統(tǒng)的流動(dòng)。簡(jiǎn)單地說，熱量向頂部移動(dòng)，但并不干擾液體保持靜止的趨勢(shì)。

然而，當(dāng)開始加熱時(shí)可以觀察到，隨著液體變得更熱，它的體積擴(kuò)大，密度降低，使其輕到足以克服摩擦并向表面上升。但如果熱量進(jìn)一步增加，液體的行為會(huì)變得更加復(fù)雜。卷動(dòng)的液體開始搖晃，為湍流的形成做準(zhǔn)備。

因此，一個(gè)看似穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)面對(duì)微小的變化時(shí)，如加熱僅0.001度，就可以在幾秒鐘內(nèi)從有序?qū)α鬟^渡到湍流混沌——即使這種系統(tǒng)是確定性的，它的最終結(jié)果可以預(yù)測(cè)。然而，在短期內(nèi)，系統(tǒng)的確定性趨勢(shì)必須向混沌讓步，使得諸如“一杯咖啡的溫度”這樣簡(jiǎn)單的事情無法預(yù)測(cè)。這樣的系統(tǒng)被稱為遵循確定性的混沌，其行為原則上是可以被預(yù)測(cè)的，但“隨著時(shí)間的推移”或在更小的“時(shí)間”尺度，其不可預(yù)知性會(huì)出現(xiàn)。

4. 混沌斑圖

視頻：Logistic 映射【前往“返樸”觀看視頻】

自然界中的混沌斑圖就在我們身邊。這些斑圖包括但不限于流體中的分形和湍流，螺旋形或者二維曼德布洛特集合形，或像洋蔥中的嵌套層那樣普遍的事物。

自然界中的混沌是一項(xiàng)迷人的研究。從最小的雪花到龐大的星系，它的每一點(diǎn)、每個(gè)聲音和景象都在訴說著自己的故事。這不禁令人著迷，因?yàn)樗腥绱硕嗟膶哟慰梢蕴剿?！從由不同材料組成的建筑結(jié)構(gòu)（如磚或玻璃）內(nèi)的音樂回聲，一直到諸如包含后代遺傳信息 DNA 的細(xì)胞等更小的結(jié)構(gòu)，混沌無處不在。

大自然是一幅用秩序和混沌的圖案編織的毯子。讓我們探索其中的一些斑圖。

4.1 洛倫茲系統(tǒng)：混沌理論中的蝴蝶效應(yīng)和奇異吸引子

在洛倫茲觀察到天氣模式對(duì)初始條件的敏感依賴后，他對(duì)混沌背后的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并由此發(fā)現(xiàn)了著名的洛倫茲方程。1963年3月，洛倫茲寫道，他想引入求解確定性非周期流和有限幅度對(duì)流（確定性混沌）的常微分方程。洛倫茲發(fā)現(xiàn)，當(dāng)將傅立葉級(jí)數(shù)應(yīng)用于瑞利的對(duì)流方程時(shí)，除了三個(gè)變量外，其他變量都趨于零。這三個(gè)變量表現(xiàn)出不規(guī)則的、明顯的非周期效應(yīng)。他利用這些變量構(gòu)建了一個(gè)基于地球大氣二維表示的簡(jiǎn)單模型。

他提出了一組對(duì)流微分方程，并將其簡(jiǎn)化到極致。盡管洛倫茲系統(tǒng)沒有完全模擬對(duì)流，但它能夠抽象出現(xiàn)實(shí)世界中對(duì)流的一個(gè)特征：熱流體上升并向四處流動(dòng)的循環(huán)運(yùn)動(dòng)過程。

洛倫茲方程如下：

dx/dt = X’ = σ(y ? x)

dy/dt = Y’ = ρx ? y ? xz

dz/dt = Z’ = xy ? βz

洛侖茲方程包含三個(gè)參數(shù)：σ， ρ， β。接下來，我們均假設(shè)這些參數(shù)都是正的。在下面所有的數(shù)值計(jì)算中，我們?nèi)?σ = 10.0， β = 8/3，ρ 是變量。這里 x、y、z 并不是指空間中的坐標(biāo)。x代表平面上的對(duì)流翻轉(zhuǎn)，y和z分別代表水平和垂直的溫度變化。該模型的參數(shù)為σ，代表流體粘度與其熱導(dǎo)率之比；ρ 代表大氣平面頂部與底部的溫差；β 代表平面的寬度與高度之比。

洛倫茲的電腦記錄下三個(gè)變量的變化值：0-10-0；4-12-0；9-20-0；16-36-2；30-66-7；54-115-24；93-192-74。隨著預(yù)設(shè)時(shí)間間隔的推移，這三個(gè)數(shù)字先上升后下降。洛倫茲用每組的 xyz 值作為坐標(biāo)繪制數(shù)據(jù)圖。這副圖顯示了當(dāng)一個(gè)變量經(jīng)歷有限時(shí)間內(nèi)的變化時(shí)，混沌系統(tǒng)如何隨時(shí)間變化。過去對(duì)系統(tǒng)的傳統(tǒng)預(yù)期是，它要么會(huì)穩(wěn)定下來，進(jìn)入一個(gè)穩(wěn)態(tài)，速度和溫度的變量將不再變化；要么可能會(huì)形成一個(gè)循環(huán)，進(jìn)入一種周期性重復(fù)的行為模式。而這兩者都沒有在洛倫茲系統(tǒng)里出現(xiàn)。

洛倫茲系統(tǒng)

這幅圖形成了一種無限復(fù)雜的感覺，同時(shí)包含了混沌和秩序。它總是在一定的范圍內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，但與此同時(shí)，它從不重復(fù)自己曾經(jīng)出現(xiàn)過的狀態(tài)。生成的混沌系統(tǒng)可預(yù)測(cè)地朝著相空間中的吸引子移動(dòng)——但出現(xiàn)的不是點(diǎn)或簡(jiǎn)單的環(huán)，而是奇異吸引子。奇異吸引子是混沌系統(tǒng)在特定相空間中的一種表現(xiàn)，但吸引子也存在于許多非混沌的動(dòng)力系統(tǒng)中。

它的形狀看起來像個(gè)三維的雙螺旋，看起來像一只蝴蝶。因此被稱為蝴蝶效應(yīng)。

洛倫茲吸引子（蝴蝶效應(yīng)）微分方程在 Java 中的示例實(shí)現(xiàn)：

int i = 0;double x0, y0, z0, x1, y1, z1;double h = 0.01, a = 10.0, b = 28.0, c = 8.0 / 3.0;x0 = 0.1;y0 = 0;z0 = 0;for (i = 0; i < N; i++) {x1 = x0 + h * a * (y0 – x0);y1 = y0 + h * (x0 * (b – z0) – y0);z1 = z0 + h * (x0 * y0 – c * z0);x0 = x1;y0 = y1;z0 = z1;// Printing the coordinatesif (i > 100)System.out.println(i + ” ” + x0 + ” ” + y0 + ” ” + z0);}

洛倫茲微分方程組證明了混沌中隱藏著秩序。這種混沌本身并不能簡(jiǎn)化為隨機(jī)性?；煦绲暮诵慕K于可以被數(shù)學(xué)的詩意語言表達(dá)了?；煦绫澈蟮臄?shù)學(xué)理論表明，宇宙是由復(fù)雜的系統(tǒng)控制的，這些系統(tǒng)同時(shí)產(chǎn)生了湍流和相干——無論是木星的大紅斑還是物種種群。蝴蝶效應(yīng)就是混沌的體現(xiàn)。

4.2 費(fèi)根鮑姆常數(shù)和混沌理論

視頻：費(fèi)根鮑姆常數(shù)【前往“返樸”觀看視頻】

混沌的數(shù)學(xué)表示確立了非線性的重要性，這一特性支配著大多數(shù)自然系統(tǒng)，包括種群數(shù)量的增加。例如，如果1000只大象的群體每年凈增10個(gè)成員，那么種群數(shù)量的增加可以在圖表上表示為一條直線。然而，一群小鼠如果每年增加一倍的種群數(shù)量，將有一個(gè)非線性的增長(zhǎng)模式——該圖可以表示為一條上升的曲線。十年后，由于增長(zhǎng)的非線性特征，兩個(gè)小鼠群體（一個(gè)有22只小鼠，另一個(gè)有20只小鼠）之間的差異將膨脹到2000多只。因此，非線性增長(zhǎng)模式常常導(dǎo)致動(dòng)物種群規(guī)?；靵y地上升和下降。

事實(shí)上，理解混沌理論最好的方法之一就是觀察動(dòng)物種群。假設(shè)方程 x_next = rx (1-x) 代表種群的增長(zhǎng)。在這里，x_next 表示下一年的種群數(shù)量，x 表示現(xiàn)有年份的種群數(shù)量；r 表示增長(zhǎng)率，(1-x)表示使增長(zhǎng)保持在一定范圍內(nèi)的因素：當(dāng) x 增加時(shí)，(1-x) 下降。在這里，種群數(shù)量被表示為0到1之間的一個(gè)分?jǐn)?shù)，其中0代表滅絕，1代表物種可能達(dá)到的最大種群數(shù)量。如果種群數(shù)量在一年內(nèi)下降到某一水平以下，那么明年就有可能增加。但是，如果種群數(shù)量增長(zhǎng)過快，物種內(nèi)部對(duì)資源的競(jìng)爭(zhēng)就會(huì)趨向于將其限制在一定范圍內(nèi)。

經(jīng)過多次初始波動(dòng)后，總體將達(dá)到平衡。當(dāng)r值很小時(shí)，種群逐漸滅絕。對(duì)于較大的r值，總體可能收斂于單個(gè)值。對(duì)于更大的值，它可能在兩個(gè)值之間波動(dòng)，然后是四個(gè)值，以此類推。但對(duì)于更大的值，一切都變得不可預(yù)測(cè)。代表種群函數(shù)的線，最初是單一的，然后分裂成兩個(gè)、四個(gè)...... 然后進(jìn)入混沌。這種情況的種群數(shù)量-r曲線產(chǎn)生了有趣的結(jié)果。

當(dāng)r在0和1之間時(shí)，種群最終滅絕。在 r = 1 到 r = 3 之間，種群數(shù)量收斂到單一值。在r = 3.2左右時(shí)，圖分叉（分成兩個(gè)），因?yàn)樵趓的這個(gè)值處，種群數(shù)量不收斂于單個(gè)值，而是在兩個(gè)值之間波動(dòng)。r值越大，分岔速度越快；在連續(xù)的周期翻倍之后，圖像很快變得混沌。這意味著，對(duì)于r的相應(yīng)值，種群數(shù)量在隨機(jī)值之間不可預(yù)測(cè)地波動(dòng)，從不表現(xiàn)出周期性行為。然而，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，在混沌部分之間的某些點(diǎn)時(shí)，圖會(huì)變得可預(yù)測(cè)。這些可以被稱為“混沌中的秩序之窗”。在最初的混沌行為之后，混沌突然消失，留下一個(gè)穩(wěn)定的三周期。然后繼續(xù)加倍——6, 12, 24，再次進(jìn)入混沌狀態(tài)…...圖中的混沌行為實(shí)際上是分形的。它展示了在植物和動(dòng)物種群調(diào)節(jié)的簡(jiǎn)單模型中固有的非線性如何導(dǎo)致混沌的行為。

超過某一點(diǎn)，周期性就會(huì)讓位給混沌，波動(dòng)根本就不會(huì)穩(wěn)定下來。圖中的整個(gè)區(qū)域都被完全遮住了。如果你繼續(xù)觀察一個(gè)由這種最簡(jiǎn)單的非線性方程組支配的動(dòng)物種群，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜性被隱藏為隨機(jī)性。然而，復(fù)雜性并不意味著隨機(jī)性。對(duì)于動(dòng)物種群數(shù)量的每一個(gè)瘋狂的、不可控的變化，我們觀察到有一連串的事件年復(fù)一年地出現(xiàn)。即使參數(shù)在上升，這意味著非線性推動(dòng)系統(tǒng)越來越難，但會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)具有固定周期的窗口：一個(gè)奇數(shù)周期，如3或7。種群數(shù)量變化的模式在3年或7年的周期中重復(fù)出現(xiàn)。然后，周期加倍的分叉以更快的速度重新開始，迅速通過3、6、12......或7、14、28......的周期，然后再次中斷，重新進(jìn)入混沌。

種群分岔圖

放大后可以看到，上圖中的混沌部分無休止地重復(fù)著同樣的模式。分形是永無止境的。分形是無限復(fù)雜的斑圖，在不同的尺度上具有自相似性。它們是通過在一個(gè)持續(xù)的反饋循環(huán)中不斷重復(fù)一個(gè)簡(jiǎn)單的過程而產(chǎn)生的。從本質(zhì)上講，分形是一種永遠(yuǎn)重復(fù)的斑圖，分形的每一部分，無論你如何放大，或縮小，它看起來都與整個(gè)圖像非常相似。在遞歸的驅(qū)動(dòng)下，分形是動(dòng)態(tài)混沌系統(tǒng)的圖像——它是混沌的圖片。正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）所說，"這是一種看待無限的方式"。

經(jīng)過調(diào)查，數(shù)學(xué)家米歇爾·費(fèi)根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)他用每個(gè)分岔段的寬度除以下一個(gè)分岔段的寬度時(shí)，它們的比率會(huì)收斂到一個(gè)常數(shù)，被稱為費(fèi)根鮑姆常數(shù)，即4.6692016090。對(duì)于所有的分叉圖，無論他使用什么函數(shù)，這個(gè)數(shù)字都是一樣的。尺度是關(guān)鍵。費(fèi)根鮑姆認(rèn)為，（跨越不同范圍的）尺度是理解湍流等復(fù)雜現(xiàn)象的關(guān)鍵。費(fèi)根鮑姆提出了一種稱為周期倍增的情況來描述規(guī)則動(dòng)力學(xué)和混沌之間的轉(zhuǎn)變。他的建議是基于1976年生物學(xué)家羅伯特·M·梅（Robert M. May）提出的 logistic 映射，梅在研究動(dòng)物種群的繁榮與蕭條模式時(shí)發(fā)現(xiàn)了分岔。

隨著時(shí)間的推移，復(fù)雜性的規(guī)則也被證明是普遍的，并適用于所有的動(dòng)力系統(tǒng)，不管它們的組成部分是什么。這種行為可以通過一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)觀察到，比如水龍頭滴水。最初，水會(huì)一滴一滴地落下。隨著水流的加速，它會(huì)成對(duì)地滴落，以此類推，然后它遵循一種混沌的行為。這種類型的行為適用于無數(shù)的混沌系統(tǒng)——從滴水到異常復(fù)雜的曼德布洛特集合。混沌無處不在。

4.3 曼德布洛特集合和混沌理論

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出生于波蘭的法裔美國(guó)人伯努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）是一位對(duì)實(shí)用科學(xué)有廣泛興趣的博學(xué)者?，F(xiàn)在人們對(duì)分形幾何的興趣很大部分是他的功勞。他展示了分形如何在數(shù)學(xué)和自然界中呈現(xiàn)。事實(shí)上，分形已經(jīng)被用來描述經(jīng)濟(jì)、金融、股票市場(chǎng)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的各種行為。他在分形幾何學(xué)上的貢獻(xiàn)為他贏得了“分形之父”的稱號(hào)。

1961年，曼德布洛特在美國(guó)紐約州約克城高地托馬斯·J·沃森研究中心擔(dān)任研究科學(xué)家。作為一名尚未找到自己專業(yè)定位的年輕聰明學(xué)者，曼德布洛特正是那種IBM招聘時(shí)所渴求的特立獨(dú)行的知識(shí)分子。招聘任務(wù)很簡(jiǎn)單：IBM參與了通過電話線傳輸計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)的工作，但一種白噪聲不斷干擾信息流，破壞信號(hào)。IBM希望曼德布洛特能對(duì)這個(gè)問題提供一個(gè)新的視角。

從孩提時(shí)代起，曼德布洛特就習(xí)慣在視覺層面思考問題，所以他沒有使用現(xiàn)成的分析技術(shù)，而是本能地從白噪聲產(chǎn)生的形狀角度來研究它——這是IBM當(dāng)今著名的數(shù)據(jù)可視化實(shí)踐的早期形式。湍流的曲線圖很快揭示了一個(gè)奇特的特征。無論圖表的規(guī)模如何，無論它代表的是一天、一小時(shí)或一秒的數(shù)據(jù)，干擾的模式都驚人地相似。有一個(gè)更大的結(jié)構(gòu)在起作用：一段時(shí)間的無誤信號(hào)，緊接著就是一段時(shí)間的錯(cuò)誤信號(hào)。曼德布洛特發(fā)現(xiàn)了誤差爆發(fā)和清晰傳輸空間之間一致的幾何關(guān)系。傳輸誤差就像時(shí)間排列的康托集（Cantor set）。他將這種變化分為兩種效應(yīng)，他稱之為“諾亞效應(yīng)”（Noah Effect）和“約瑟效應(yīng)”（Joseph Effect）。

康托集

諾亞效應(yīng)意味著不連續(xù)性：當(dāng)一個(gè)數(shù)量發(fā)生變化時(shí)，它幾乎可以任意地快速變化。經(jīng)濟(jì)學(xué)家們傳統(tǒng)上認(rèn)為，價(jià)格的變化是平穩(wěn)的——快速或緩慢，視情況而定。但平穩(wěn)的意思是，它們?cè)趶囊粋€(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的過程中經(jīng)過了所有的中間水平。這種運(yùn)動(dòng)的概念是從物理學(xué)中借來的，就像應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多數(shù)學(xué)一樣。但這是錯(cuò)誤的。價(jià)格的變化可以是瞬間的跳躍，就像一條消息在電傳電報(bào)上閃現(xiàn)和一千個(gè)股票經(jīng)紀(jì)人可以改變他們的主意一樣迅速。曼德布洛特認(rèn)為，如果假定股票在從60美元跌至10美元過程中的某一時(shí)刻必須以50美元的價(jià)格出售，那么這條股市策略注定要失敗。

約瑟效應(yīng)意味著持續(xù)性。埃及遍地必來七個(gè)大豐年，隨后又要來七個(gè)荒年。當(dāng)然如果《圣經(jīng)》用它來隱喻周期性的話是過于簡(jiǎn)化的。但洪水和干旱確實(shí)持續(xù)存在。盡管存在潛在的隨機(jī)性，但一個(gè)地方遭受干旱的時(shí)間越長(zhǎng)，它就越有可能遭受更長(zhǎng)時(shí)間的干旱。此外，對(duì)尼羅河的數(shù)學(xué)分析表明，這種持久性持續(xù)了幾個(gè)世紀(jì)，甚至幾十年。諾亞效應(yīng)和約瑟夫效應(yīng)推動(dòng)著不同的方向，但它們加起來就是：自然界的趨勢(shì)是真實(shí)存在的，但它們來的快去的也快。

曼德布洛特后來將注意力轉(zhuǎn)向測(cè)量海岸線。英國(guó)的海岸有多長(zhǎng)？根據(jù)曼德布洛特的說法，答案取決于人們使用的尺子。據(jù)他說，海岸線無限長(zhǎng)。一幅圖畫在他的腦海中形成，但它是朦朧的。微觀世界和宏觀世界之間有一種斑圖聯(lián)系。當(dāng)從上面放大或縮小時(shí)，巖石海岸的粗糙程度看起來是一樣的。曼德布洛特逐漸認(rèn)識(shí)到，大自然傾向于在不同的測(cè)量維度上重復(fù)它的模式。

1945年，曼德布洛特的叔叔向他介紹了朱利亞（Julia）1918年的重要論文，認(rèn)為這是一篇杰作，可以延伸出許多有趣的問題，但曼德布洛特并不喜歡它。事實(shí)上，他對(duì)他叔叔提出的建議十分抗拒，因?yàn)樗X得自己對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)態(tài)度與他叔叔的態(tài)度是完全不同的。相反，曼德布洛特選擇了屬于他自己的非常不同的學(xué)術(shù)路線，然而，這條路線又讓他回到了朱利亞的論文。

在加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）和皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）之前的工作基礎(chǔ)上，曼德布洛特使用計(jì)算機(jī)繪制朱利亞集的圖像。通過研究這些朱利亞集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、棉花價(jià)格的模式、電子傳輸噪音的頻率和河流洪水的重復(fù)，曼德布洛特認(rèn)識(shí)到，自然系統(tǒng)中的不規(guī)則模式有一種自我相似性。存在一種跨越尺度的對(duì)稱性——斑圖中還有斑圖。

曼德布洛特在加斯頓·朱利亞的工作基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。朱利亞集分形通常是通過初始化一個(gè)復(fù)數(shù) z = x + yi 產(chǎn)生的，其中x和y是圖像像素坐標(biāo)，范圍約為-2至2。經(jīng)過無數(shù)次的迭代，如果z小于2，我們就說這個(gè)像素是在朱利亞集里，并相應(yīng)地給它上色。對(duì)整個(gè)像素網(wǎng)格進(jìn)行這樣的計(jì)算就可以得到一個(gè)分形圖像。

曼德布洛特將c的值設(shè)置為 x + yi，其中x和y是圖像坐標(biāo)（也用于初始z值）。這就產(chǎn)生了曼德布洛特集合。曼德布洛特集合可以被認(rèn)為是所有朱利亞集合的映射，因?yàn)樗诿總€(gè)位置使用不同的c，就好像在空間中從一個(gè)朱利亞集合轉(zhuǎn)換到另一個(gè)朱利亞集合。結(jié)果是一個(gè)形狀笨拙的蟲子一樣的結(jié)構(gòu)，至少可以說，這是令人困惑的。更重要的是，每一個(gè)小版本都比上一個(gè)版本包含了更多復(fù)雜的細(xì)節(jié)。這些結(jié)構(gòu)并不完全相同，但總體形狀驚人地相似，只是細(xì)節(jié)不同。事實(shí)證明，這些細(xì)節(jié)的具體程度只受限于計(jì)算方程的機(jī)器的能力，而類似的形狀可以永遠(yuǎn)持續(xù)下去——在無限的尺度上揭示越來越多的細(xì)節(jié)。這是一個(gè)確定的幾何形狀，它的粗糙度是有規(guī)則和參數(shù)的，但它是一種先前未被科學(xué)界所識(shí)別的幾何形式。

曼德布洛特集合

曼德布洛特于1979年提出了曼德布洛特集。1982年，曼德布洛特在《自然界的分形幾何》中擴(kuò)展并更新了他的觀點(diǎn)。在這本書中，曼德布洛特強(qiáng)調(diào)了自然界中許多分形物體的出現(xiàn)。他舉的最基本的例子是一棵樹。他指出，從樹干到樹枝等樹的每個(gè)部分都非常相似，但也有細(xì)微的差異，這為整棵樹的內(nèi)部運(yùn)作提供了越來越多的細(xì)節(jié)、復(fù)雜性和洞察力。忠實(shí)于他的學(xué)術(shù)根源，曼德布洛特基于這些自然實(shí)例提出了健全的數(shù)學(xué)理論和系統(tǒng)，他新創(chuàng)造的“分形幾何”就是基于此。

5. 混沌理論舉例

分形斑圖無處不在：在數(shù)學(xué)、工業(yè)、股票市場(chǎng)、氣候科學(xué)、星系、樹木，甚至在電影和游戲中也有分形的存在。事實(shí)上，多分形圖案已經(jīng)在量子領(lǐng)域被發(fā)現(xiàn)——在掃描隧道顯微鏡的原子級(jí)分辨率下，材料從金屬向絕緣體的突變中，與單電子相關(guān)的波呈現(xiàn)了明顯的多分形圖案。讓我們來看看我們?cè)谧匀唤绨l(fā)現(xiàn)的一些最令人驚訝的混沌模式。

5.1 木星上的大紅斑

木星的紅斑是混沌研究中的一件藝術(shù)品。大紅斑是木星南半球的一場(chǎng)風(fēng)暴，它的紅色云層以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，風(fēng)速超過地球上的任何風(fēng)暴。地球上的颶風(fēng)是由水分凝結(jié)成雨時(shí)釋放的熱量驅(qū)動(dòng)的，但紅斑并不是。地球上的颶風(fēng)以氣旋方向旋轉(zhuǎn)，在赤道上方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在赤道下方順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，就像所有地球上的風(fēng)暴一樣。相比之下，紅斑的旋轉(zhuǎn)是反氣旋的。而且最重要的是，颶風(fēng)在幾天內(nèi)就會(huì)消亡。但自1831年9月5日以來，人們一直能觀察到大紅斑。這個(gè)斑點(diǎn)是一個(gè)受湍流調(diào)節(jié)的自組織系統(tǒng)，混沌中穩(wěn)定的矛盾組合創(chuàng)造了這個(gè)強(qiáng)大的風(fēng)暴，這似乎沒有盡頭。

木星大紅斑

5.2 人體

從主動(dòng)脈到毛細(xì)血管，人體的血管形成了另一種連續(xù)體：它們分支，分裂，再分支，直到變得非常狹窄，以至于血細(xì)胞被迫單列移動(dòng)。它們分支的本質(zhì)是分形的。

肺是自然分形器官的一個(gè)極好的例子。一對(duì)人類肺的體積只有4-6升，但其表面積卻能達(dá)到在50-100平方米。肺的表面積與容積比非常高，它對(duì)人體非常重要。是肺的分形結(jié)構(gòu)使其具有這樣的特征，從氣管到分支頂端的肺泡一共有11個(gè)分支。分形分支幾何提供了一種使非常大的表面積變得非常緊湊的方法。在這種情況下，身體里的每個(gè)細(xì)胞都必須非?？拷懿拍塬@得氧氣和營(yíng)養(yǎng)（100微米以內(nèi)）。血管的分形分支系統(tǒng)可以達(dá)到直徑約為8微米的程度，這也就是毛細(xì)血管的寬度。人體的血管長(zhǎng)度可達(dá)15萬公里左右，因?yàn)槿梭w組織每毫米約有250個(gè)毛細(xì)血管，而毛細(xì)血管的平均長(zhǎng)度約為600微米。

同樣地，大腦的神經(jīng)元也擁有分形模式。人腦由大約1000億個(gè)神經(jīng)元組成，這些神經(jīng)元之間有大約100萬億個(gè)突觸或連接，平均每個(gè)神經(jīng)元可能要在同一時(shí)間與大約1000個(gè)細(xì)胞溝通。軸突伸出來與其他神經(jīng)元的樹突進(jìn)行突觸連接。正是神經(jīng)元的軸突和樹突的分形分支模式使它們能夠與如此多的其他細(xì)胞交流。

事實(shí)上，癌癥物質(zhì)的分形維度要高于健康細(xì)胞的分形維度。喬治·華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)和工程系兼職教授艾倫·彭（Alan Penn）描述了他在這一領(lǐng)域的工作：核磁共振乳腺成像可能改善對(duì)400萬名乳房X光檢查無效的高危婦女的診斷。核磁共振成像的臨床應(yīng)用的困境是難以診斷哪些腫塊是良性的，哪些是惡性的。研究的重點(diǎn)是開發(fā)強(qiáng)大的分形維度估計(jì)，這將改善良性和惡性乳房腫塊之間的區(qū)分。

自然界中所有動(dòng)物的身體結(jié)構(gòu)都是分形的，它們的行為甚至?xí)r間也是分形的。我們的心跳看起來規(guī)律而有節(jié)奏，但當(dāng)仔細(xì)觀察計(jì)時(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它有非常輕微的分形。這非常重要：我們的心跳并不是規(guī)律的，而是有重要的微小變化。這種細(xì)微的變化大大減少了心臟的磨損。就像自相似樹的樹枝一樣，健康人的心跳在統(tǒng)計(jì)上也是自相似的。此外，心臟病可以通過極端和無節(jié)奏的分形行為來檢測(cè)。

5.3 自然界中的分形

分形圖案在大自然中隨處可見。樹木是天然的分形斑圖，這些斑圖重復(fù)著越來越小的“復(fù)制品”，創(chuàng)造了森林的生物多樣性。每根樹枝，從樹干到樹梢，都是之前那根樹枝的副本。這是一個(gè)基本原則，我們?cè)谧匀唤缯麄€(gè)自然系統(tǒng)的有機(jī)生命形式的分形結(jié)構(gòu)中會(huì)反復(fù)看到。

花朵、蕨類植物、樹葉、河道、閃電、雪花是自然界分形的一些例子。Romanesco Broccoli 是花椰菜的變種，是一種極具分形的蔬菜。它的斑圖是斐波那契數(shù)列或黃金螺旋的自然表示，這是一種對(duì)數(shù)螺旋，每四分之一轉(zhuǎn)距離原點(diǎn)的距離都是黃金比例的一個(gè)因數(shù)。

斐波那契數(shù)列是自然界中常見而美麗的數(shù)字模式，它創(chuàng)造了黃金比例。蕨類植物是自相似集合的一個(gè)常見例子，這意味著它們的模式可以在任何放大或縮小的情況下用數(shù)學(xué)方法生成和復(fù)制。描述蕨類植物的數(shù)學(xué)公式以邁克爾·巴恩斯利（Michael Barnsley）的名字命名，是第一個(gè)表明混沌本質(zhì)上不可預(yù)測(cè)、但通常遵循基于非線性迭代方程的確定性規(guī)則的數(shù)學(xué)公式之一。換句話說，使用Barnsley的蕨類公式反復(fù)生成的隨機(jī)數(shù)最終產(chǎn)生了一個(gè)獨(dú)特的蕨類形狀的物體。許多植物在生成分枝形狀和葉型時(shí)遵循簡(jiǎn)單的遞歸公式。

各種分形的例子

河流三角洲在本質(zhì)上也趨向于分形；即使在天空中，基于衛(wèi)星圖片的分析也表明，從數(shù)百英里外觀測(cè)到的云具有不變的分形維數(shù)；閃電不是直線傳播的，而是遵循混沌的行為。閃電可以非常大，跨越數(shù)英里，但它在微秒內(nèi)就可以形成；雷聲是分形的聲音，是由空氣過熱引起的。因?yàn)殚W電的路徑在3D空間中是一個(gè)鋸齒形的分形，它到達(dá)我們耳朵所需的時(shí)間是不同的，因此我們聽到的聲音是一個(gè)分形模式。

星系是已知的最大的螺旋分形中例子。一個(gè)螺旋星系可能包含一萬億顆恒星。旋臂并不包含更多的恒星，但是，旋臂仍然更亮，因?yàn)樗鼈儼S多由恒星形成的旋轉(zhuǎn)螺旋波形成的生命短暫的極亮恒星。恒星形成的波之所以可見，是因?yàn)樗鼈儼S多年輕的、非常明亮的恒星，它們的壽命很短，可能只有1000萬年，而相比之下，更常見的恒星，如我們的太陽，壽命可達(dá)數(shù)十億年。

6. 量子混沌

量子混沌描述并試圖理解原子和分子中電子的波狀運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)（量子力學(xué)），以及電磁波和聲學(xué)等。在一定程度上，這些波就像經(jīng)典力學(xué)中粒子的混沌軌跡，包括光學(xué)儀器中的光線和復(fù)雜容器中的聲波。量子混沌的研究包括動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論在量子體系中的應(yīng)用。

“我們?cè)谌粘Ｉ钪兴?jīng)歷的宏觀世界是如何從肉眼看不見的微觀世界中顯現(xiàn)出來的？”這個(gè)問題，和科學(xué)本身一樣古老。在過去的100年里，理解支配“宏觀世界的經(jīng)典力學(xué)是如何從支配微觀世界的量子力學(xué)中衍生出來的”這一命題變得越來越重要。雖然科學(xué)界已經(jīng)取得了巨大的進(jìn)步，但仍然存在許多令人困惑的問題。混沌的出現(xiàn)很可能是量子世界和現(xiàn)實(shí)世界之間的共同連接。

量子混沌研究的核心目標(biāo)是描述量子系統(tǒng)的普遍特性，這些特性反映了基礎(chǔ)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的規(guī)則或混沌特征。研究人員已經(jīng)觀察到，經(jīng)典混沌的后一種普遍屬性與量子混沌的普遍光譜波動(dòng)特征密切相關(guān)。

量子混沌最初是試圖在量子力學(xué)系統(tǒng)中找到混沌，即對(duì)初始條件變化的極端敏感性。這一嘗試失敗了，因?yàn)槿藗冏罱K意識(shí)到，這種敏感性并不存在。然而，在此過程中，人們發(fā)現(xiàn)混沌（或缺乏混沌）以其他方式反映在量子系統(tǒng)中。

量子混沌的一個(gè)迷人特征是，它揭示了非常不同的物理系統(tǒng)在行為上的大量普遍性。例如，在強(qiáng)多重散射問題中發(fā)現(xiàn)的聲波強(qiáng)度、被稱為瑞利分布（Rayleigh）的概率密度、中子從中重核散射的截面中的埃里克森波動(dòng)、以及在混沌或無序的量子點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)的電導(dǎo)率波動(dòng)，都可以被視為擁有一個(gè)共同的基本統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)。因此，人們能夠看到系統(tǒng)之間的基本相似之處，否則這些往往會(huì)被忽略。普遍性意味著對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性的許多方面缺乏敏感性，即缺乏某些種類的信息。此外，量子混沌把許多不相干的、看似不相干的概念，即經(jīng)典混沌、半經(jīng)典物理學(xué)和漸進(jìn)方法、隨機(jī)矩陣組合、路徑積分、量子場(chǎng)論、安德森局域性，以意想不到的方式聯(lián)系起來。

因此，看到量子混沌在許多領(lǐng)域的應(yīng)用就不足為奇了。這些領(lǐng)域包括：（1）中核和重核中的低能質(zhì)子和中子共振；（2）彈道量子點(diǎn)；（3）介觀無序電子導(dǎo)體；（4）非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)背景下的Dirac譜；（5）原子和分子光譜；（6）里德堡原子與分子；（7）微波驅(qū)動(dòng)原子；（8）超冷原子和光學(xué)晶格；（9）光學(xué)諧振器；（10）晶體中的聲學(xué)和在海洋中遠(yuǎn)距離傳播的聲學(xué)；（11）黎曼ζ函數(shù)和廣義L-函數(shù)；（12）退相干性和保真度研究。還有很多其他的例子。

受擊陀螺系統(tǒng)中的量子混沌

7. 混沌理論與意識(shí)

意識(shí)是一種涌現(xiàn)屬性。正如神經(jīng)科學(xué)家 David Eagleman 在他的書《大腦：你的故事》中解釋的那樣，觀察意識(shí)最合適的方式不是關(guān)注各個(gè)部分，而是關(guān)注各個(gè)部分之間的相互作用。人類大腦中數(shù)百萬個(gè)神經(jīng)元中的一個(gè)神經(jīng)元本身就足夠簡(jiǎn)單。它以一種完美的、可預(yù)測(cè)的方式執(zhí)行其功能，即神經(jīng)遞質(zhì)通過突觸發(fā)送信號(hào)。通過觀察單個(gè)神經(jīng)元來理解作為一個(gè)系統(tǒng)的意識(shí)是不可能的。重要的是神經(jīng)元之間復(fù)雜的相互作用。每個(gè)神經(jīng)元執(zhí)行自己的簡(jiǎn)單功能；但是，在數(shù)百萬個(gè)神經(jīng)元之間的這種大規(guī)模的相互作用，產(chǎn)生了單個(gè)神經(jīng)元無法解釋的東西：意識(shí)。

我們可以說，意識(shí)與人類大腦中分布式互動(dòng)的復(fù)雜性有關(guān)。人腦的功能結(jié)構(gòu)本身就是一個(gè)分形反饋循環(huán)：分形大腦產(chǎn)生分形意識(shí)。人類的意識(shí)與中樞神經(jīng)系統(tǒng)的電信號(hào)密切相關(guān)。如果大腦中沒有電活動(dòng)，你就會(huì)失去意識(shí)，甚至死亡。當(dāng)意識(shí)出現(xiàn)時(shí)，大腦活動(dòng)的熵會(huì)增加，而分形是高熵的，這也是一些研究人員認(rèn)為我們的意識(shí)是分形的原因之一。其次，我們的中樞神經(jīng)系統(tǒng)控制著我們身體和精神的大部分功能，它與分形有很多聯(lián)系：第一，中樞神經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是分形的；第二，中樞神經(jīng)系統(tǒng)的信號(hào)也是分形的。

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哲學(xué)家 Kerri Welch 通過時(shí)間和記憶的鏡頭，以更全面的方式看待意識(shí)?！拔艺J(rèn)為意識(shí)是一個(gè)時(shí)間上的分形。我們每時(shí)每刻都在接收無限多的數(shù)據(jù)，每次我們壓縮處理這些數(shù)據(jù)的過程都是一次尺度上的飛躍?！盬elch認(rèn)為，感知時(shí)間不是一個(gè)線性的過程，而是一個(gè)“分層”過程，也就是一個(gè)分形。她認(rèn)為這種“分形”會(huì)隨著我們的變化而變化：例如，嬰兒只生活在當(dāng)下，不分割時(shí)間，肯定不會(huì)像成年人這般體驗(yàn)時(shí)間。這就是為什么對(duì)嬰兒來說，大腦的δ波狀態(tài)——類似于成年人在深度睡眠中看到的——占主導(dǎo)地位。隨后，當(dāng)我們成長(zhǎng)到童年時(shí)期，我們開始看到更快的腦電波，θ腦電波……然后是α腦電波，最后是進(jìn)入青春期后的β腦電波。這種對(duì)時(shí)間的分層理解與我們?nèi)绾卧絹碓蕉嗟貙r(shí)間分割成越來越小的部分相對(duì)應(yīng)。與此同時(shí)，“我們內(nèi)部的密度也在增加。隨著年齡的增長(zhǎng)，我們會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，接受周圍的復(fù)雜性，并在內(nèi)心重新創(chuàng)造它。我們內(nèi)部的分形維數(shù)——即內(nèi)部密度——正在增加?！?/p>

哈佛大學(xué)醫(yī)學(xué)院的心臟病專家 Ary Goldberger 說得好：“我們本質(zhì)上是分形的，這可能會(huì)導(dǎo)致你認(rèn)為是我們將分形投射到世界上的，然后又看到它，并發(fā)現(xiàn)它很熟悉?！彼?，當(dāng)我們觀察和創(chuàng)造藝術(shù)，當(dāng)我們決定什么是高級(jí)藝術(shù)時(shí)，我們實(shí)際上只是在回看我們自己?jiǎn)?？?chuàng)造在某種程度上是再創(chuàng)造嗎？”

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本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“集智俱樂部”。

本文翻譯自 projectnile.in. 文章題目：

The Mathematical Beauty of Patterns in Chaos Theory

文章鏈接：

https://projectnile.in/2021/06/06/quantifying-the-patterns-of-chaos/

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